이토록 단순한 미적분, 그토록 어려웠던 이유?

미적분하면 어떤 생각이 드시나요? "으악! 난 문과라서 몰라!" 이름만 들어도 머리가 지끈거리고, 복잡한 공식과 그래프가 떠오르면서 라는 말이 절로 나오지는 않나요? 하지만 사실 미적분은 우리가 생각하는 것만큼 어렵지 않습니다. 오히려 매우 논리적이고 직관적인 개념이라고 할 수 있습니다. 아마 미분은 기울기, 적분은 면적이란 이야기는 많이 들어보셨을 거에요. 이것보다 더 단순하게 말해볼까요? 사실 미분은 나눗셈, 적분은 곱셈일 뿐입니다. 어떻게 그럴 수 있냐고요?

 

 

미적분 단순하게 바라보기

미적분은 사실 나눗셈과 곱셈을 세련되게 표현한 것에 불과합니다. 나눗셈과 곱셈으로 표현할 수 있는 것이 한정적이라서, 좀 더 많은 의미를 담을 수 있는 나눗셈과 곱셈 기호를 만들어낸 것이죠. 하나씩 자세히 살펴볼까요?

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1. 미분

미분은 x값이 변하는 동안 y값이 얼마나 변하는지를 나타내는 식입니다.

 

예를 한번 들어볼까요? x축과 y축으로 이루어진 그래프 위에 y=2x라는 함수가 그려져있다고 생각해보죠. 우리는 x값이 1에서 2로 변하는 동안 y가 얼마나 변하는지 알고 싶습니다. 함수식에 따르면 x가 1일때 y값은 2, x가 2일때 y값은 4입니다. x값이 1만큼 증가하는 동안 y값은 2에서 4로 2만큼 증가했네요. 그 비율을 비교해보면 2/1 = 2가 됩니다.

 

일반적으로 우리는 이 값을 기울기라고 부르죠. 직선은 x와 y의 변화량의 비율이 일정하거든요. 그래서 이걸 특별히 '기울기'라는 이름으로 부릅니다. 하지만 대부분의 함수들은 '직선'이 아닙니다. 복잡한 형태를 나타내는 경우가 더 많죠. 각 지점의 변화율이 다르다는 뜻이죠. 사람들은 이 변화량의 크기를 쉽게 비교하고 싶었습니다. 그래서 나온 것이 미분입니다.

 

예를 들어, y=x2이란 함수의 미분은 y = 2x가 되죠? x가 변하는 동안 y의 변화량이 얼마인지 구하는데, 대신 x값 변화량을 아주아주 작은 값, 거의 점에 가까운 값이라고 놓는 겁니다. 그렇게 하면 각 점에서 기울기를 알 수 있거든요. 그럼 그래프의 성질을 파악하기 편해요. 그래서 미분을 사용하는 것일뿐입니다. 다시 말해, 미분은 y값의 변화량을 x값의 변화량으로 나눈 값으로 물리적으로는 기울기를 나타내는 것입니다.

 

2. 적분

반면, 적분은 x값에 대한 y값 전체를 모두 더한 것을 나타내는 식입니다. 일반적으로는 면적이라고 말하죠. 하지만 적분에서는 x값이 굉장히 작은 값, 즉 미소한 값을 다룹니다. 하지만, 이때 x값이 워낙 작은 값, 미소한 값이라면 y값은 선처럼 보일 겁니다. 일정 구간에 있는 선들을 전부 더하면 어떻게 될까요? 그래프 아래에서부터 x축까지의 면적과 같게 됩니다. 다시 말해, 적분은 y값의 변화량과 x값의 변화량을 곱한 값들의 합입니다.

 

미적분이 어려운 이유

그럼 왜 미적분이 어려워 보일까요? 그것은 우리 눈에 낯선 '연산자' 로 표현했기 때문입니다. 연산자는 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 같은 것을 말합니다. 특정한 계산을 수행하라고 지시하는 일종의 '기호' 역할을 하죠. 미분과 적분을 할 때는 일상생활에서 사용하지 않는 연산자를 사용합니다. 그래서 우리가 미적분을 처음 만나면 일단 거부감부터 들게 됩니다. 마음에서 미적분을 받아들이지 못하니 자꾸만 더 멀어지는 것입니다.

 

미분은 순간 변화율을 나타내기 위해 미분 기호 (d)를 사용합니다. 분모 꼴로 되어 있으며, 기준이 되는 값을 아래쪽에 표기합니다. 예를 들어, dy/dx 라고 쓴다면, "x값이 아주 조금 변했을 때 y값은 얼마나 변하는지 구하라" 는 뜻입니다.

 

적분은 적분 기호 (∫) 를 사용합니다. 's' 를 길게 늘인 것처럼 생긴 곡선을 앞에 쓰면 적분하라는 뜻입니다. 이것을 인테그랄이라고 부릅니다. 인테그랄의 좋은 점은 적분할 범위를 표기해준다는 겁니다. s의 위 아래에 작게 숫자나 문자를 표기한 것을 볼 수 있습니다. 이게 바로 적분할 범위가 됩니다. 아래가 시작점, 위가 끝점을 의미하죠.

 

 

어떠신가요? 알고보니 미적분, 별거 아니라는 생각이 들지 않나요? 미적분은 단순히 나눗셈과 곱셈을 좀 더 세련되게 표현한 것일 뿐입니다. 물론 처음에는 생소한 기호와 용어 때문에 어려워 보일 수 있습니다. 하지만 미적분의 기본 원리를 이해하고 나면, 복잡한 공식들도 쉽게 다가올 것입니다. 미적분은 어렵지만, 한 번 이해하고 나면 세상을 보는 새로운 눈을 갖게 될 것입니다. 마치 숨겨진 퍼즐 조각을 찾아 맞추는 듯한 쾌감을 느낄 수 있을 겁니다.